让 AI 追一次反向传播：同一权重走了两条路，梯度就要相加
AI讲反向传播时，常能写出“沿链式法则求导”，却没有说明同一个参数用两次怎么办。下面做一张只含一个权重的计算卡：让它沿两条路参与输出，再检查反向返回的贡献是否都到齐。
AI模型生成的概念插图：正向计算与反向信息流；不是实际模型结构、训练截图或精确计算图。
这个w确实是同一个参数
固定输入x=2，目标t=5。先算h=w×x，再算y=h+w，损失L=(y−t)²/2。第二处w与第一处共享同一个数，不是另设偏置。初始w=1，因此h=2、y=3、误差y−t=−2、损失L=2。
把式子画在纸上：w分成两条线，一条经过乘x再进入y，另一条直接进入y。Stanford CS231n课程强调，分支返回到同一个变量的梯度应累加；覆盖前一条贡献，会漏掉函数对该参数的一部分依赖。
从损失沿两条路走回来
损失对y的导数是y−t，所以当前为−2。经过h的路线，y对h导数为1，h对w导数为x=2，贡献是−2×1×2=−4。直接路线中，y对那个w的导数为1，贡献是−2。两条相加，最终dL/dw=−6。
若AI只交−4，它可能漏了直接相加的分支；若只交−2，则可能只保留了最后写入的一条。把w误当两个独立参数后各更新一次，也不是同一个模型。正确做法是先在同一次前向计算的参数值上累积完梯度，再交给更新规则。
不用反向规则，也能检查一次
独立把原函数写成L(w)=(3w−5)²/2，取很小的ε，计算[L(1+ε)−L(1−ε)]/(2ε)。本文以ε=0.00001实际算得约−6，与逐分支结果一致。有限差分是局部数值检查，步长过大或过小都可能带来问题，不能代替完整训练验证。
再做一次普通梯度下降，学习率取0.1：新w=1−0.1×(−6)=1.6。重新前向得到y=4.8、误差−0.2、损失0.02。这里损失下降是明确算出的单步结果，不是模型训练实验，也不表示任何任务都应使用0.1。
梯度方向对，步子也可能迈过头
用同一个初始梯度，却把学习率改成1，新w会到7，输出21，损失128，比原来的2更大。反向传播负责计算梯度，优化器负责怎样使用它；把两者都叫“自动变好”，会掩盖步长的作用。
可复制提示词：“为h=w×2、y=h+w、L=(y−5)²/2画出共享w的两条路径，w初始为1。逐节点计算前向值，分别追踪每条返回贡献并相加。用中心有限差分ε=0.00001独立检查。然后从同一初始点各做学习率0.1与1的一次梯度下降，报告新w、输出和损失；不要把两次更新串接。”
这张卡适合调试“数值能跑，但梯度不像预期”的小算式。遇到不可导点、不同损失归约或多个样本时，应重新说明约定；先检查函数究竟是什么，再让AI解释梯度为什么这样流。
资料核对日期：2026年10月2日。算例为原创教学设计，没有进行真实模型训练或性能测试。
