让 AI 压成一个主成分：保留八成方差，两个不同样本仍会重合
“保留80%的信息”是介绍降维时常见的简写，却容易让人以为每个样本都恢复得八九不离十。让AI做一次PCA投影时，可以要求它同时交出原点、投影坐标和重建点，看究竟丢掉了什么。
AI模型生成的概念插图：点投影到一条主轴，垂直偏移表示被舍弃的分量；不代表软件截图、真实实验或精确数据图。
先把整组数据搬到均值周围
四个点依次为(13,21)、(11,23)、(7,19)、(9,17)，两列均值是(10,20)。中心化后得到(3,1)、(1,3)、(-3,-1)、(-1,-3)。这里两个特征已约定使用可比较的尺度，不额外标准化。scikit-learn的PCA会中心化输入，但默认不会把每列缩到相同方差。
按样本协方差的分母n-1=3计算，矩阵两条对角线都是20/3，非对角线都是4。沿u=(1,1)/√2的特征值为32/3，沿垂直方向v=(1,-1)/√2的特征值为8/3。第一方向保留的方差比例是(32/3)/(40/3)=0.8。
投影以后，差异可以完全消失
每个中心化点与u做点积，四个一维坐标依次是2√2、2√2、-2√2、-2√2，约为2.828427125、2.828427125、-2.828427125、-2.828427125。前两个不同的原始点，在保留的坐标上已经完全相同。
把一维坐标乘回u，再加均值(10,20)，重建点分别是(12,22)、(12,22)、(8,18)、(8,18)。每点与原点的残差为(1,-1)或(-1,1)，平方距离均为2，四点总重建平方误差为8。
中心化数据的总平方长度是40，丢掉的部分是8，恰好为20%。这与解释方差比例一致，但“80%”描述的是这组数据沿线性方向的变动量，不是分类准确率，也不是每个坐标保留了80%的数值。
把方向符号与恢复误差分开验收
可用提示词：“对四点(13,21)、(11,23)、(7,19)、(9,17)手算PCA，只保留一个成分，不白化、不按列缩放。交付均值、样本协方差、特征值、单位主轴、投影、重建及逐点平方误差。用丢弃特征值与残差两条路径核对总误差。”
如果另一份计算返回主轴(-1,-1)/√2，投影坐标也全部反号，仍可能完全正确：坐标与主轴一起反号，乘回去的重建结果不变。验收不应只盯住主轴某一项的正负。
本例无需标签便能求出主轴，所以不能保证保留的方向最适合区分某个类别。若换单位、加异常点或选择白化，结果的含义也会变化。让AI留下这些设置与重建误差，才方便把教学卡转换成真实数据分析步骤。
资料核对日期：2026年10月2日。数值为原创教学设定，已用独立Python计算复核，不代表真实模型性能测试。
