用 AI 平衡 Sinkhorn 传输：每行都归一了，为什么两列仍然分得不对

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在特征匹配或分布比较中，一行权重常表示某个来源分给各目标的质量。逐行softmax能保证每个来源分完自己的份额，却不保证目标收到的总量合适。最优传输同时约束两端，Sinkhorn迭代通过交替缩放行与列来满足这两套配额。

AI模型生成的概念插图：来源质量可以拆分流向多个目标；线条不是精确传输量、匹配结果或软件截图。

两边都只分一半

原创例子有两个来源与两个目标，每个来源提供0.5，每个目标也必须收到0.5，总质量为1。传输矩阵P的每一项非负，行和与列和都应为0.5。成本矩阵两行是[0,0]和[0,ln(9)]，表示只有第二来源到第二目标的通道有额外成本。

采用目标“总运输成本+εΣPᵢⱼ(ln Pᵢⱼ-1)”，取ε=1，使用自然对数。这一熵正则形式鼓励分散传输。对应核矩阵K逐项取exp(-成本/ε)，得到[[1,1],[1,1/9]]；K本身还不满足质量约束。

先将K每行缩放到和为0.5，得到[[0.25,0.25],[0.45,0.05]]。两个来源各自都用完配额，可两列收到0.7和0.3，分别超出与少了0.2。把行归一称为“已经配平”，就漏掉另一端的约束。

再把两列分别乘0.5/0.7与0.5/0.3，列和回到0.5。但此时两行的和约为0.595238与0.404762，又偏离原配额。一次行缩放加一次列缩放通常不够，需要继续交替，并检查两套边际误差都足够小。

因为四个边际都相同，任何可行矩阵都能写为[[a,0.5-a],[0.5-a,a]]。对该一元目标求导，得到ln(9)+2ln[a/(0.5-a)]。令它为0，可得a/(0.5-a)=1/3，所以a=0.125。

最终矩阵为[[0.125,0.375],[0.375,0.125]]。行列和确实都是0.5，且a位于合法范围内；一元目标的二阶导数为正，因此它是唯一最小值。本次程序同时做交替缩放与独立的一元导数检查，二者一致。

在本次直接缩放实现中，21轮后行列和的最大绝对误差低于10的负13次方。这个轮数只属于该小矩阵和停止条件，不能当作所有Sinkhorn问题的推荐迭代数。实现应报告残差，不能仅以循环已经跑完判断约束满足。

结果仍给高成本通道分了0.125质量，因为目标中还包含熵项。若完全取消正则，本例可选[[0,0.5],[0.5,0]]取得零运输成本。不能只比较运输成本，就宣布带正则的解算错；二者优化的目标不同。

这里质量允许分割，不是必须一人配一个位置的硬指派。实际AI匹配还需设计成本、边际和正则强度；当核元素因极端成本下溢到0时，直接缩放也可能不稳，需要对数域等数值方法。这份计算卡适合先验收边际与目标定义，不代表真实匹配质量。

资料核对日期：2026年10月2日。算例为原创教学设定，已用独立程序复核，未进行真实模型训练或效果测试。